A derivada de cada função comum

Derivada de x \frac{d}{dx}\,x = 1 A derivada de x é 1. Veja por que pela definição de limite e pela regra da potência, além das derivadas de 5x, ax + b e de x em relação a outras variáveis. Derivada de x² \frac{d}{dx}\,x^2 = 2x A derivada de x² é 2x. Veja a demonstração pela definição de limite, a regra da cadeia para u², o gráfico, retas tangentes e exemplos como (3x + 1)². Derivada de √x \frac{d}{dx}\,\sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}} A derivada de √x é 1/(2√x). Veja as demonstrações pela regra da potência e por limite, a regra da cadeia para √u, por que x = 0 falha e exemplos. Derivada de ∛x \frac{d}{dx}\,\sqrt[3]{x} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} A derivada da raiz cúbica de x é 1/(3∛(x²)). Veja as demonstrações pela regra da potência e por limite, a tangente vertical em 0 e a regra da cadeia. Derivada de 1/x \frac{d}{dx}\,\frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2} A derivada de 1/x é -1/x². Veja a demonstração pela definição de limite, a regra da potência com x⁻¹, a regra da cadeia para 1/u e exemplos resolvidos. Derivada de 1/x² \frac{d}{dx}\,\frac{1}{x^2} = -\frac{2}{x^3} A derivada de 1/x² é -2/x³. Veja as demonstrações pela regra da potência e do quociente, a regra da cadeia para 1/u², o gráfico e exemplos resolvidos. Derivada de |x| \frac{d}{dx}\,\lvert x\rvert = \frac{x}{\lvert x\rvert} A derivada de |x| é x/|x|: 1 para x > 0, -1 para x < 0 e indefinida em 0. Veja a demonstração, o bico em 0 e a regra da cadeia para |u|. Derivada de uma constante \frac{d}{dx}\,c = 0 A derivada de uma constante é 0. Veja por que pela definição de limite, além de casos que confundem, como π², e³, ln 5 e constantes multiplicando funções.

Derivada de sen x \frac{d}{dx}\,\sin x = \cos x A derivada de sen x é cos x. Veja a demonstração por limite, a versão com a regra da cadeia para sen(u), o gráfico e exemplos como sen(3x) e x sen x. Derivada de cos x \frac{d}{dx}\,\cos x = -\sin x A derivada de cos x é -sen x. Veja a demonstração por limite, uma demonstração rápida a partir do sen x, a regra da cadeia para cos(u) e exemplos. Derivada de tg x \frac{d}{dx}\,\tan x = \sec^2 x A derivada de tg x é sec²x. Veja a demonstração pela regra do quociente, a forma 1 + tg²x, a regra da cadeia para tg(u) e exemplos como tg(4x) e tg²x. Derivada de sec x \frac{d}{dx}\,\sec x = \sec x\tan x A derivada de sec x é sec x tg x. Veja a demonstração a partir de 1/cos x, a regra da cadeia para sec(u), o gráfico e exemplos como sec(2x) e x sec x. Derivada de cossec x \frac{d}{dx}\,\csc x = -\csc x\cot x A derivada de cossec x é -cossec x cotg x. Veja a demonstração a partir de 1/sen x, a regra da cadeia para cossec(u), o gráfico e exemplos resolvidos. Derivada de cotg x \frac{d}{dx}\,\cot x = -\csc^2 x A derivada de cotg x é -cossec²x. Veja a demonstração pela regra do quociente, a forma -(1 + cotg²x), a regra da cadeia para cotg(u) e exemplos. Derivada de sec²x \frac{d}{dx}\,\sec^2 x = 2\sec^2 x\tan x A derivada de sec²x é 2sec²x tg x. Veja duas demonstrações, uma pela regra da cadeia e outra com 1 + tg²x, além de exemplos como sec²(3x). Derivada de sen²x \frac{d}{dx}\,\sin^2 x = 2\sin x\cos x = \sin 2x A derivada de sen²x é 2 sen x cos x, que é igual a sen 2x. Veja a demonstração pela regra da cadeia, a conferência com o arco duplo e exemplos. Derivada de cos²x \frac{d}{dx}\,\cos^2 x = -2\sin x\cos x = -\sin 2x A derivada de cos²x é -2 sen x cos x, que é igual a -sen 2x. Veja a demonstração pela regra da cadeia, a conferência por identidade e exemplos. Derivada de sen 2x \frac{d}{dx}\,\sin 2x = 2\cos 2x A derivada de sen 2x é 2cos 2x. Veja a demonstração pela regra da cadeia, a conferência com 2 sen x cos x, a regra geral para sen(ax) e exemplos resolvidos. Derivada de sen(x²) \frac{d}{dx}\,\sin(x^2) = 2x\cos(x^2) A derivada de sen(x²) é 2x cos(x²). Veja a regra da cadeia passo a passo, a diferença para sen²x, a derivada segunda e exemplos resolvidos.

Derivada de arcsen x \frac{d}{dx}\,\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} A derivada de arcsen x é 1/√(1 − x²). Veja a demonstração a partir de sen y = x, a forma com a regra da cadeia para arcsen(u), o gráfico e exemplos. Derivada de arccos x \frac{d}{dx}\,\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} A derivada de arccos x é −1/√(1 − x²). Veja a demonstração, por que ela é a oposta da derivada do arcsen, exemplos com a regra da cadeia e o gráfico. Derivada de arctg x \frac{d}{dx}\,\arctan x = \frac{1}{1 + x^2} A derivada de arctg x é 1/(1 + x²). Veja a demonstração a partir de tg y = x, exemplos com a regra da cadeia como arctg(2x) e arctg(x²) e o gráfico. Derivada de arcsec x \frac{d}{dx}\,\operatorname{arcsec} x = \frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}} A derivada de arcsec x é 1/(|x|√(x² − 1)). Veja de onde vem o módulo, a demonstração via arccos(1/x) e exemplos com a regra da cadeia. Derivada de arccotg x \frac{d}{dx}\,\operatorname{arccot} x = -\frac{1}{1 + x^2} A derivada de arccotg x é −1/(1 + x²). Veja a demonstração a partir de cotg y = x, a relação com o arctg, exemplos com a regra da cadeia e o gráfico.

Derivada de ln x \frac{d}{dx}\,\ln x = \frac{1}{x} A derivada de ln x é 1/x. Veja por quê, com a demonstração a partir de eʸ = x, a versão com a regra da cadeia para ln(u), o gráfico e exemplos como ln(2x). Derivada de e^x \frac{d}{dx}\,e^x = e^x A derivada de eˣ é eˣ. Veja por que com uma demonstração por limite, a forma com a regra da cadeia para e^u, o gráfico e exemplos como e^(3x) e x²eˣ. Derivada de e^(2x) \frac{d}{dx}\,e^{2x} = 2e^{2x} A derivada de e^(2x) é 2e^(2x). Veja os passos com a regra da cadeia, uma segunda demonstração com (eˣ)², derivadas de ordem superior e exemplos. Derivada de e^(−x) \frac{d}{dx}\,e^{-x} = -e^{-x} A derivada de e^(−x) é −e^(−x). Veja os passos com a regra da cadeia, a conferência pela regra do quociente, derivadas de ordem superior e exemplos. Derivada de e^(x²) \frac{d}{dx}\,e^{x^2} = 2x\,e^{x^2} A derivada de e^(x²) é 2x·e^(x²). Veja os passos com a regra da cadeia, a derivada segunda, a diferença para (eˣ)² e exemplos como e^(−x²). Derivada de 2^x \frac{d}{dx}\,2^x = 2^x\ln 2 A derivada de 2ˣ é 2ˣ ln 2, e a de aˣ é aˣ ln a. Veja a demonstração escrevendo aˣ como e^(x ln a), exemplos com a regra da cadeia e o gráfico. Derivada de log x \frac{d}{dx}\,\log_{10} x = \frac{1}{x\ln 10} A derivada de log₁₀ x é 1/(x ln 10), e a de log_b x é 1/(x ln b). Veja a demonstração por mudança de base, exemplos com a regra da cadeia e o gráfico. Derivada de ln(2x) \frac{d}{dx}\,\ln(2x) = \frac{1}{x} A derivada de ln(2x) é 1/x, a mesma de ln x. Veja duas demonstrações, um gráfico que mostra por que as inclinações coincidem e por que ln(2x + 1) é diferente. Derivada de ln(x²) \frac{d}{dx}\,\ln(x^2) = \frac{2}{x} A derivada de ln(x²) é 2/x, enquanto a derivada de (ln x)² é 2 ln x / x. Veja as duas demonstrações, o gráfico e como distinguir as duas funções. Derivada de x ln x \frac{d}{dx}\,x\ln x = \ln x + 1 A derivada de x ln x é ln x + 1. Veja os passos com a regra do produto, o mínimo em x = 1/e, a derivada segunda, o gráfico e exemplos parecidos. Derivada de x e^x \frac{d}{dx}\,xe^x = e^x(x + 1) A derivada de xeˣ é eˣ(x + 1). Veja os passos com a regra do produto, o mínimo em x = −1, o padrão da derivada de ordem n, o gráfico e exemplos resolvidos. Derivada de x^x \frac{d}{dx}\,x^x = x^x(\ln x + 1) A derivada de xˣ é xˣ(ln x + 1). Aprenda dois métodos, a derivação logarítmica e a reescrita como e^(x ln x), além do gráfico e de exemplos. Derivada de ln(cos x) \frac{d}{dx}\,\ln(\cos x) = -\tan x A derivada de ln(cos x) é −tg x. Veja os passos com a regra da cadeia, por que ela explica a integral de tg x, o gráfico, e ln(sen x) e ln(sec x).

Derivada de senh x \frac{d}{dx}\,\sinh x = \cosh x A derivada de senh x é cosh x. Veja a demonstração pela definição com exponenciais, por que não há sinal de menos, exemplos com a regra da cadeia e o gráfico. Derivada de cosh x \frac{d}{dx}\,\cosh x = \sinh x A derivada de cosh x é senh x, sem sinal de menos. Veja a demonstração por exponenciais, o exemplo do cabo suspenso, a regra da cadeia e o gráfico. Derivada de tgh x \frac{d}{dx}\,\tanh x = \operatorname{sech}^2 x A derivada de tgh x é sech² x, que é igual a 1 − tgh² x. Veja a demonstração pela regra do quociente, a regra da cadeia, o gráfico e a derivada de arctgh.