Exercícios de cálculo com respostas
Listas de exercícios para cada tema importante do cálculo. Tente cada problema e depois confira a resposta e a solução passo a passo. Quando quiser mais, pratique com números novos a cada vez.
Limites e continuidade
Exercícios de cálculo de limites, limites no infinito, regra de L'Hôpital e continuidade.
Exercícios de cálculo de limites
\lim_{x\to a} f(x) = f(a) \text{ quando } f \text{ é contínua em } a
12 exercícios de limites com respostas e resolução passo a passo: substituição direta, fatoração de 0/0, conjugado, limites trigonométricos e limites laterais.
Exercícios de limites no infinito
\lim_{x\to\infty}\frac{a x^n + \cdots}{b x^n + \cdots} = \frac{a}{b}
12 exercícios de limites no infinito com respostas e resoluções completas: funções racionais, raízes quadradas, exponenciais e assíntotas horizontais.
Exercícios de regra de L'Hôpital
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
12 exercícios de regra de L'Hôpital com respostas e resoluções completas, cobrindo 0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞−∞ e formas exponenciais como 1^∞ e 0^0.
Exercícios de continuidade
\lim_{x\to a} f(x) = f(a)
12 exercícios de continuidade com respostas e resoluções: funções definidas por partes, achar k, tipos de descontinuidade e Teorema do Valor Intermediário.
Derivadas
Exercícios das regras de derivação, da regra da potência à derivação implícita.
Exercícios de derivada pela definição
f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}
12 exercícios de derivada pela definição (limite) com respostas e resolução passo a passo, de funções afins a 1/x, √x e retas tangentes.
Exercícios de regra da potência
\frac{d}{dx}\,x^n = n\,x^{n-1}
12 exercícios de regra da potência com respostas e resolução passo a passo: polinômios, expoentes negativos e fracionários, raízes e retas tangentes.
Exercícios de regra do produto e do quociente
(fg)' = f'g + fg', \qquad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}
12 exercícios de regra do produto e regra do quociente com respostas e resolução passo a passo, incluindo produto de três fatores e uma tabela de valores.
Exercícios de derivadas de funções trigonométricas
\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \quad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x, \quad \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x
12 exercícios de derivadas de funções trigonométricas com respostas e resoluções: sen, cos, tg, sec, cossec, cotg, com regras do produto, quociente e cadeia.
Exercícios de regra da cadeia
\frac{d}{dx}\,f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x)
12 exercícios de regra da cadeia com respostas e resolução passo a passo, de (3x+1)⁵ até funções compostas em camadas como sen²(4x) e e^(cos x).
Exercícios de derivadas de funções exponenciais e logarítmicas
\frac{d}{dx}e^x = e^x, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}
12 exercícios de derivadas de funções exponenciais e logarítmicas, com respostas e resoluções completas: e^x, a^x, ln x, propriedades do log e x^x.
Exercícios de derivação implícita
\frac{d}{dx}\big[f(y)\big] = f'(y)\,\frac{dy}{dx}
12 exercícios de derivação implícita com respostas e resoluções completas: circunferências, produtos, trigonométricas, exponenciais, retas tangentes e y''.
Exercícios de derivadas de funções trigonométricas inversas
\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1 + x^2}
12 exercícios de derivadas de funções trigonométricas inversas com respostas e resoluções: arcsen, arccos, arctg e arcsec com as regras da cadeia e do produto.
Aplicações da derivada
Exercícios de taxas relacionadas, otimização, esboço de gráficos e aproximação linear.
Exercícios de taxas relacionadas
x^2 + y^2 = z^2 \;\Rightarrow\; 2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 2z\frac{dz}{dt}
10 exercícios de taxas relacionadas com respostas e resolução completa: balão, escada, cone, sombra, carros e ângulos, cada um com um modelo claro.
Exercícios de otimização
f'(x) = 0 \;\text{ ou não existe} \;\Rightarrow\; \text{teste os pontos críticos e as extremidades}
10 exercícios de otimização em cálculo com respostas e resoluções completas: cercas, caixas, latas, ponto mais próximo, receita e o caminho mais rápido.
Exercícios de esboço de gráficos
f'(x) > 0 \Rightarrow \text{crescente}, \qquad f''(x) > 0 \Rightarrow \text{concavidade para cima}
12 exercícios de esboço de gráficos com respostas e resoluções: pontos críticos, crescimento e decrescimento, extremos, concavidade e assíntotas.
Exercícios de aproximação linear
L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)
12 exercícios de aproximação linear com respostas e resoluções completas: linearização, estimativa de raízes e logaritmos, diferenciais e erro.
Exercícios do Teorema do Valor Médio
f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}
12 exercícios do Teorema do Valor Médio com respostas e resoluções: encontrar c, Teorema de Rolle, verificar hipóteses, limitar valores e contar raízes.
Integrais
Exercícios de antiderivadas, somas de Riemann, integrais definidas e o teorema fundamental.
Exercícios de antiderivadas
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)
12 exercícios de antiderivadas com respostas e resolução passo a passo: regra da potência, trigonométricas, exponenciais e problemas de valor inicial.
Exercícios de somas de Riemann
\int_a^b f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x, \quad \Delta x = \frac{b-a}{n}
10 exercícios de somas de Riemann com respostas: somas à esquerda, à direita, do ponto médio e dos trapézios, tabelas, estimativas e limites de somas.
Exercícios de integral definida
\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)
12 exercícios de integral definida com respostas e resoluções completas: polinômios, trigonometria, simetria, módulo, geometria e propriedades da integral.
Exercícios do Teorema Fundamental do Cálculo
\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))\,g'(x)
12 exercícios do Teorema Fundamental do Cálculo com respostas: Parte 1 com derivadas e limites variáveis, Parte 2 com cálculo de integrais e funções acumulação.
Técnicas de integração
Exercícios de substituição, integração por partes, integrais trigonométricas e frações parciais.
Exercícios de integração por substituição
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \quad u = g(x)
12 exercícios de integração por substituição com respostas e resolução passo a passo, de (x²+1)⁵ a ln x / x, com volta à variável e integrais definidas.
Exercícios de integração por partes
\int u\,dv = uv - \int v\,du
12 exercícios de integração por partes com respostas e resoluções completas: x eˣ, ln x, arctg x, partes repetidas e o ciclo de e^x sen x.
Exercícios de integrais trigonométricas
\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \quad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}
12 exercícios de integrais trigonométricas com respostas: potências de seno e cosseno, tangente e secante, arco metade e transformação de produto em soma.
Exercícios de substituição trigonométrica
\sqrt{a^2 - x^2}:\ x = a\sin\theta \quad \sqrt{a^2 + x^2}:\ x = a\tan\theta \quad \sqrt{x^2 - a^2}:\ x = a\sec\theta
12 exercícios de substituição trigonométrica com respostas e resolução completa para √(a²−x²), √(a²+x²), √(x²−a²) e completamento de quadrado.
Exercícios de frações parciais
\frac{px + q}{(x - a)(x - b)} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{x - b}
12 exercícios de decomposição em frações parciais com respostas: fatores distintos e repetidos, quadráticos irredutíveis e divisão de polinômios antes.
Aplicações da integral
Exercícios de área, volume, integrais impróprias e equações diferenciais.
Exercícios de área entre curvas
A = \int_a^b \big(\text{de cima}(x) - \text{de baixo}(x)\big)\,dx
10 exercícios de área entre curvas com respostas e resoluções completas: pontos de interseção, de cima menos de baixo, curvas que se cruzam e integração em y.
Exercícios de volume de revolução
V = \pi\int_a^b \big(R(x)^2 - r(x)^2\big)\,dx \qquad V = 2\pi\int_a^b x\,h(x)\,dx
11 exercícios de volume de revolução com respostas e resolução completa pelos métodos dos discos, das arruelas e das cascas, incluindo outros eixos.
Exercícios de integrais impróprias
\int_a^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_a^{b} f(x)\,dx
12 exercícios de integrais impróprias com respostas: limites infinitos, assíntotas verticais, convergência ou divergência e o critério da comparação.
Exercícios de equações diferenciais
\frac{dy}{dx} = g(x)\,h(y) \;\Rightarrow\; \int\frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx
12 exercícios de equações diferenciais com respostas: equações separáveis, crescimento e decaimento exponencial, resfriamento, logística e método de Euler.
Sequências e séries
Exercícios de testes de convergência, séries de potências, séries de Taylor, curvas paramétricas e polares.
Exercícios de testes de convergência de séries
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|: \quad L < 1 \text{ converge},\ L > 1 \text{ diverge}
12 exercícios de convergência de séries com respostas: termo geral, série p, geométrica, comparação, integral, razão, raiz e séries alternadas.
Exercícios de séries de potências
\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^{\infty}x^n, \quad |x| < 1
12 exercícios de séries de potências com respostas: raio e intervalo de convergência, análise dos extremos e séries construídas a partir de 1/(1 − x).
Exercícios de série de Taylor
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n
12 exercícios de séries de Taylor e de Maclaurin com respostas: construção de séries, polinômios de Taylor, estimativas com erro, limites e somas.
Exercícios de equações paramétricas e coordenadas polares
\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}, \qquad A = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r^2\,d\theta
12 exercícios de curvas paramétricas e coordenadas polares com respostas: dy/dx, retas tangentes, comprimento de arco, conversões e área em polares.
Cálculo multivariável
Exercícios de derivadas parciais, integrais múltiplas e otimização em várias variáveis.
Exercícios de derivadas parciais
f_x = \frac{\partial f}{\partial x}, \quad \nabla f = \langle f_x, f_y\rangle, \quad D_{\mathbf{u}}f = \nabla f\cdot\mathbf{u}
12 exercícios de derivadas parciais com respostas: derivadas de primeira e segunda ordem, gradiente, derivada direcional, plano tangente e pontos críticos.
Exercícios de integrais duplas
\iint_R f(x, y)\,dA = \int_a^b\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x, y)\,dy\,dx
12 exercícios de integrais duplas com respostas: integrais iteradas, regiões gerais, inversão da ordem, coordenadas polares, volume e valor médio.
Exercícios de multiplicadores de Lagrange
\nabla f = \lambda\,\nabla g, \qquad g(x, y) = k
12 exercícios de multiplicadores de Lagrange com respostas: extremos em retas e circunferências, pontos mais próximos, três variáveis e o significado de lambda.
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