Übungsaufgaben zur Analysis mit Lösungen
Aufgabenblätter zu jedem wichtigen Thema der Analysis. Löse jede Aufgabe selbst und prüfe dann das Ergebnis und den vollständigen Lösungsweg. Wenn du mehr willst, übe jedes Mal mit neuen Zahlen.
Grenzwerte und Stetigkeit
Aufgaben zu Grenzwerten, Grenzwerten im Unendlichen, der Regel von L'Hospital und Stetigkeit.
Aufgaben zum Berechnen von Grenzwerten
\lim_{x\to a} f(x) = f(a) \text{, wenn } f \text{ stetig ist in } a
12 Aufgaben zu Grenzwerten mit Lösungen und Lösungsweg: direktes Einsetzen, Faktorisieren bei 0/0, Erweitern, trigonometrische und einseitige Grenzwerte.
Aufgaben zu Grenzwerten im Unendlichen
\lim_{x\to\infty}\frac{a x^n + \cdots}{b x^n + \cdots} = \frac{a}{b}
12 Aufgaben zu Grenzwerten im Unendlichen mit Ergebnissen und vollständigen Lösungen: gebrochenrationale Funktionen, Wurzeln, e-Funktionen und Asymptoten.
Aufgaben zur Regel von L'Hospital
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
12 Aufgaben zur Regel von L'Hospital mit Lösungen und ausführlichem Lösungsweg zu 0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞−∞ und Potenzformen wie 1^∞ und 0^0.
Aufgaben zur Stetigkeit
\lim_{x\to a} f(x) = f(a)
12 Aufgaben zur Stetigkeit mit Lösungen und Lösungsweg: abschnittsweise definierte Funktionen, Parameter k, Arten von Unstetigkeit und Zwischenwertsatz.
Ableitungen
Aufgaben zu den Ableitungsregeln, von der Potenzregel bis zum impliziten Differenzieren.
Aufgaben zur Ableitung über den Differenzenquotienten
f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}
12 Aufgaben zur Ableitung über den Grenzwert des Differenzenquotienten (h-Methode) mit Lösungen und Lösungswegen, von Geraden bis 1/x, √x und Tangenten.
Aufgaben zur Potenzregel
\frac{d}{dx}\,x^n = n\,x^{n-1}
12 Aufgaben zur Potenzregel mit Ergebnissen und Lösungswegen: Polynome, negative und gebrochene Exponenten, Wurzeln und Tangenten.
Aufgaben zur Produktregel und Quotientenregel
(fg)' = f'g + fg', \qquad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}
12 Aufgaben zur Produktregel und Quotientenregel mit Ergebnissen und Lösungswegen, darunter ein Produkt aus drei Faktoren und eine Aufgabe mit Wertetabelle.
Aufgaben zur Ableitung trigonometrischer Funktionen
\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \quad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x, \quad \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x
12 Aufgaben zur Ableitung trigonometrischer Funktionen mit Lösungen und Lösungsweg: sin, cos, tan, sec, csc, cot mit Produkt-, Quotienten- und Kettenregel.
Aufgaben zur Kettenregel
\frac{d}{dx}\,f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x)
12 Aufgaben zur Kettenregel mit Lösungen und ausführlichem Lösungsweg, von (3x+1)⁵ bis zu verschachtelten Funktionen wie sin²(4x) und e^(cos x).
Aufgaben zur Ableitung von Exponential- und Logarithmusfunktionen
\frac{d}{dx}e^x = e^x, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}
12 Aufgaben zur Ableitung von Exponential- und Logarithmusfunktionen mit Lösungen und Lösungsweg: e^x, a^x, ln x, Logarithmusgesetze und x^x.
Aufgaben zum impliziten Differenzieren
\frac{d}{dx}\big[f(y)\big] = f'(y)\,\frac{dy}{dx}
12 Aufgaben zum impliziten Differenzieren mit Lösungen und Lösungsweg: Kreise, Produkte, trigonometrische Funktionen, e-Funktionen, Tangenten und y''.
Aufgaben zur Ableitung der Arkusfunktionen
\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1 + x^2}
12 Aufgaben zur Ableitung der Arkusfunktionen mit Lösungen und vollständigem Lösungsweg: arcsin, arccos, arctan und arcsec mit Ketten- und Produktregel.
Anwendungen der Ableitung
Aufgaben zu verknüpften Änderungsraten, Optimierung, Kurvendiskussion und linearer Approximation.
Aufgaben zu verknüpften Änderungsraten
x^2 + y^2 = z^2 \;\Rightarrow\; 2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 2z\frac{dz}{dt}
10 Aufgaben zu verknüpften Änderungsraten mit Lösungen: Ballons, Leitern, Kegel, Schatten, Autos und Winkel, jeweils mit klarem Ansatz.
Extremwertaufgaben mit Lösungen
f'(x) = 0 \;\text{ oder nicht definiert} \;\Rightarrow\; \text{kritische Punkte und Randwerte prüfen}
10 Extremwertaufgaben mit Ergebnissen und vollständigen Lösungen: Zäune, Schachteln, Dosen, kürzeste Abstände, Erlös und der schnellste Weg.
Aufgaben zur Kurvendiskussion
f'(x) > 0 \Rightarrow \text{streng monoton steigend}, \qquad f''(x) > 0 \Rightarrow \text{linksgekrümmt}
12 Aufgaben zur Kurvendiskussion mit Lösungen und Lösungsweg: kritische Punkte, Monotonie, Extrempunkte, Krümmungsverhalten, Wendepunkte und Asymptoten.
Aufgaben zur linearen Approximation
L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)
12 Aufgaben zur linearen Approximation mit Ergebnissen und Lösungen: Linearisierung, Wurzeln und Logarithmen abschätzen, Differentiale und Fehler.
Aufgaben zum Mittelwertsatz
f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}
12 Aufgaben zum Mittelwertsatz mit Ergebnissen und Lösungen: c bestimmen, Satz von Rolle, Voraussetzungen prüfen, Abschätzungen und Nullstellen zählen.
Integrale
Aufgaben zu Stammfunktionen, Riemann-Summen, bestimmten Integralen und dem Hauptsatz.
Aufgaben zu Stammfunktionen
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)
12 Aufgaben zu Stammfunktionen mit Lösungen und Lösungsweg: Potenzregel, trigonometrische Funktionen, e-Funktionen und Anfangswertprobleme.
Aufgaben zu Riemann-Summen
\int_a^b f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x, \quad \Delta x = \frac{b-a}{n}
10 Aufgaben zu Riemann-Summen mit Lösungen: Unter-, Ober- und Mittelpunktsummen, Trapezregel, Wertetabellen, zu große oder zu kleine Schätzungen.
Aufgaben zu bestimmten Integralen
\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)
12 Aufgaben zu bestimmten Integralen mit Lösungen und Lösungsweg: Polynome, Trigonometrie, Symmetrie, Betrag, Geometrie und Integraleigenschaften.
Aufgaben zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))\,g'(x)
12 Aufgaben zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung mit Lösungen: Ableitungen mit variablen Grenzen, Integrale berechnen, Integralfunktionen.
Integrationstechniken
Aufgaben zu Substitution, partieller Integration, trigonometrischen Integralen und Partialbruchzerlegung.
Aufgaben zur Substitutionsregel
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \quad u = g(x)
12 Aufgaben zur Substitutionsregel mit Ergebnissen und Lösungswegen, von (x²+1)⁵ bis ln x / x, mit Rücksubstitution und bestimmten Integralen.
Aufgaben zur partiellen Integration
\int u\,dv = uv - \int v\,du
12 Aufgaben zur partiellen Integration mit Lösungen und Lösungsweg: x eˣ, ln x, arctan x, mehrfache partielle Integration und der Trick bei eˣ sin x.
Aufgaben zu trigonometrischen Integralen
\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \quad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}
12 Aufgaben zu trigonometrischen Integralen mit Lösungen: Potenzen von Sinus und Kosinus, Tangens und Sekans, Halbwinkelformeln und Additionstheoreme.
Aufgaben zur trigonometrischen Substitution
\sqrt{a^2 - x^2}:\ x = a\sin\theta \quad \sqrt{a^2 + x^2}:\ x = a\tan\theta \quad \sqrt{x^2 - a^2}:\ x = a\sec\theta
12 Aufgaben zur trigonometrischen Substitution mit Ergebnissen und Lösungen für √(a²−x²), √(a²+x²), √(x²−a²) und mit quadratischer Ergänzung.
Aufgaben zur Partialbruchzerlegung
\frac{px + q}{(x - a)(x - b)} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{x - b}
12 Aufgaben zur Partialbruchzerlegung mit Lösungen: einfache und mehrfache Linearfaktoren, quadratische Faktoren ohne Nullstellen und Polynomdivision.
Anwendungen des Integrals
Aufgaben zu Flächen, Volumen, uneigentlichen Integralen und Differentialgleichungen.
Aufgaben zur Fläche zwischen Kurven
A = \int_a^b \big(\text{oben}(x) - \text{unten}(x)\big)\,dx
10 Aufgaben zur Fläche zwischen Kurven mit Lösungen und Lösungsweg: Schnittstellen, obere minus untere Kurve, sich schneidende Kurven, Integration nach y.
Aufgaben zu Rotationskörpern
V = \pi\int_a^b \big(R(x)^2 - r(x)^2\big)\,dx \qquad V = 2\pi\int_a^b x\,h(x)\,dx
11 Aufgaben zum Volumen von Rotationskörpern mit Lösungen: Scheiben-, Ring- und Zylindermantelmethode, auch mit Rotation um andere Achsen.
Aufgaben zu uneigentlichen Integralen
\int_a^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_a^{b} f(x)\,dx
12 Aufgaben zu uneigentlichen Integralen mit Lösungen: unendliche Grenzen, senkrechte Asymptoten, Konvergenz oder Divergenz und das Vergleichskriterium.
Aufgaben zu Differentialgleichungen
\frac{dy}{dx} = g(x)\,h(y) \;\Rightarrow\; \int\frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx
12 Aufgaben zu Differentialgleichungen mit Lösungen: Trennung der Variablen, Wachstum und Zerfall, Abkühlung, logistisches Wachstum und Euler-Verfahren.
Folgen und Reihen
Aufgaben zu Konvergenzkriterien, Potenzreihen, Taylorreihen, Parameter- und Polarkurven.
Aufgaben zu Konvergenzkriterien für Reihen
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|: \quad L < 1 \text{ konvergent},\ L > 1 \text{ divergent}
12 Aufgaben zur Konvergenz von Reihen mit Lösungen: Nullfolgenkriterium, p-Reihe, geometrische Reihe, Vergleichs-, Integral-, Quotienten- und Wurzelkriterium.
Aufgaben zu Potenzreihen
\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^{\infty}x^n, \quad |x| < 1
12 Aufgaben zu Potenzreihen mit Lösungen: Konvergenzradius und Konvergenzintervall, Randpunkte prüfen und neue Reihen aus 1/(1 − x) aufbauen.
Aufgaben zu Taylorreihen
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n
12 Aufgaben zu Taylor- und Maclaurin-Reihen mit Lösungen: Reihen aufstellen, Taylorpolynome, Näherungen mit Fehlerabschätzung, Grenzwerte und Summen.
Aufgaben zu Parameterkurven und Polarkoordinaten
\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}, \qquad A = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r^2\,d\theta
12 Aufgaben zu Parameterkurven und Polarkoordinaten mit Lösungen: dy/dx, Tangenten, Bogenlänge, Koordinaten umrechnen, Steigung und Fläche in Polarform.
Mehrdimensionale Analysis
Aufgaben zu partiellen Ableitungen, Mehrfachintegralen und Optimierung mit mehreren Variablen.
Aufgaben zu partiellen Ableitungen
f_x = \frac{\partial f}{\partial x}, \quad \nabla f = \langle f_x, f_y\rangle, \quad D_{\mathbf{u}}f = \nabla f\cdot\mathbf{u}
12 Aufgaben zu partiellen Ableitungen mit Lösungen: erste und zweite partielle Ableitungen, Gradient, Richtungsableitung, Tangentialebene und kritische Punkte.
Aufgaben zu Doppelintegralen
\iint_R f(x, y)\,dA = \int_a^b\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x, y)\,dy\,dx
12 Aufgaben zu Doppelintegralen mit Lösungen: iterierte Integrale, allgemeine Bereiche, Vertauschen der Reihenfolge, Polarkoordinaten, Volumen und Mittelwert.
Aufgaben zu Lagrange-Multiplikatoren
\nabla f = \lambda\,\nabla g, \qquad g(x, y) = k
12 Aufgaben zu Lagrange-Multiplikatoren mit Lösungen: Extrema auf Geraden und Kreisen, nächstgelegene Punkte, drei Variablen und die Bedeutung von Lambda.
Lernen durch Tun
Du kennst die Regel? Jetzt wende sie an.
Jede Nachschlageseite verlinkt auf eine interaktive Lektion, in der du echte Aufgaben mit sofortigem Feedback und Schritt-für-Schritt-Lösungen löst.
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