Formulario de cálculo
Todas las derivadas, integrales, reglas y teoremas en una página. Toca cualquier nombre para ver la explicación completa, la gráfica y ejemplos resueltos, o imprímela para repasar.
Derivadas e integrales de funciones comunes
| Función | Derivada | Integral |
|---|---|---|
| Función constante f(x) = c | cx + C | |
| Función lineal f(x) = mx + b | \frac{m}{2}x^2 + bx + C | |
| Función cuadrática f(x) = ax^2 + bx + c, \quad a \ne 0 | \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + C | |
| Funciones potencia f(x) = x^n | \frac{x^{n+1}}{n+1} + C | |
| Funciones polinómicas f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 | \frac{a_n}{n+1}x^{n+1} + \cdots + \frac{a_1}{2}x^2 + a_0x + C | |
| Funciones racionales f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \quad Q(x) \ne 0 | \int \frac{A}{x - r}\,dx = A\ln|x - r| + C | |
| Función recíproca f(x) = \frac{1}{x} | \ln|x| + C | |
| Función raíz cuadrada f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} | \frac{2}{3}x^{3/2} + C | |
| Función valor absoluto f(x) = |x| = \begin{cases} x & x \ge 0 \\ -x & x < 0 \end{cases} | \frac{x|x|}{2} + C | |
| Función exponencial natural f(x) = e^x | e^x + C | |
| Funciones exponenciales f(x) = b^x, \quad b > 0,\ b \ne 1 | \frac{b^x}{\ln b} + C | |
| Logaritmo natural f(x) = \ln x | x\ln x - x + C | |
| Funciones logarítmicas f(x) = \log_b x, \quad b > 0,\ b \ne 1 | \frac{x\ln x - x}{\ln b} + C | |
| Función seno f(x) = \sin x | -\cos x + C | |
| Función coseno f(x) = \cos x | \sin x + C | |
| Función tangente f(x) = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} | \ln\lvert\sec x\rvert + C | |
| Secante, cosecante y cotangente \sec x = \frac{1}{\cos x}, \quad \csc x = \frac{1}{\sin x}, \quad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} | \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C | |
| Arcoseno f(x) = \arcsin x = \sin^{-1} x | x\arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C | |
| Arcocoseno f(x) = \arccos x = \cos^{-1} x | x\arccos x - \sqrt{1 - x^2} + C | |
| Arcotangente f(x) = \arctan x = \tan^{-1} x | x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1 + x^2) + C | |
| Funciones hiperbólicas \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \quad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \quad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} | \cosh x + C |
Leyes de los límites
Explicaciones →Reglas de derivación
Explicaciones →
Regla de la constante
\frac{d}{dx}\, c = 0
Regla de la potencia
\frac{d}{dx}\, x^n = n\,x^{n-1}
Regla del múltiplo constante
\frac{d}{dx}\,[c\,f(x)] = c\,f'(x)
Regla de la suma y la diferencia
\frac{d}{dx}\,[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)
Regla del producto
\frac{d}{dx}\,[f(x)\,g(x)] = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x)
Regla del cociente
\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{[g(x)]^2}
Regla de la cadena
\frac{d}{dx}\,f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x)
Derivación implícita
\frac{d}{dx}\,f(y) = f'(y)\,\frac{dy}{dx}
Derivación logarítmica
\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{d}{dx}\big[\ln y\big]
Derivada de la función inversa
(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'\big(f^{-1}(x)\big)}
Reglas de integración
Explicaciones →
Regla de la potencia para integrales
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \ne -1
Linealidad de la integral
\int \left[a\,f(x) + b\,g(x)\right]dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx
Integración por sustitución
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \quad u = g(x)
Integración por partes
\int u\,dv = uv - \int v\,du
Propiedades de la integral definida
\int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx
Reglas de series
Explicaciones →
Fórmula de la serie geométrica
\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^n = \frac{a}{1 - r}, \quad \lvert r\rvert < 1
Criterio del término n-ésimo
\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \;\Longrightarrow\; \sum a_n \text{ diverge}
Criterio del cociente
L = \lim_{n\to\infty} \left\lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\rvert
Criterio de series alternadas
b_n \ge b_{n+1} > 0,\ \lim_{n\to\infty} b_n = 0 \;\Longrightarrow\; \sum (-1)^{n+1} b_n \text{ converge}
Teoremas de límites y continuidad
Explicaciones →Teoremas del cálculo diferencial
Explicaciones →Teoremas del cálculo integral
Explicaciones →Teoremas de series y varias variables
Explicaciones →
Teorema de Taylor
f(x) = P_n(x) + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}
Teorema de Clairaut
f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)
Teorema de Green
\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA
Teorema de la divergencia
\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_E \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV
Teorema de Stokes
\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}
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