Analysis-Formelsammlung
Jede Ableitung, jedes Integral, jede Regel und jeder Satz auf einer Seite. Tippe auf einen Namen für die ausführliche Erklärung, den Graphen und Rechenbeispiele, oder drucke sie zum Wiederholen aus.
Ableitungen und Integrale gängiger Funktionen
| Funktion | Ableitung | Integral |
|---|---|---|
| Konstante Funktion f(x) = c | cx + C | |
| Lineare Funktion f(x) = mx + b | \frac{m}{2}x^2 + bx + C | |
| Quadratische Funktion f(x) = ax^2 + bx + c, \quad a \ne 0 | \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + C | |
| Potenzfunktionen f(x) = x^n | \frac{x^{n+1}}{n+1} + C | |
| Ganzrationale Funktionen f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 | \frac{a_n}{n+1}x^{n+1} + \cdots + \frac{a_1}{2}x^2 + a_0x + C | |
| Gebrochenrationale Funktionen f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \quad Q(x) \ne 0 | \int \frac{A}{x - r}\,dx = A\ln|x - r| + C | |
| Kehrwertfunktion f(x) = \frac{1}{x} | \ln|x| + C | |
| Wurzelfunktion f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} | \frac{2}{3}x^{3/2} + C | |
| Betragsfunktion f(x) = |x| = \begin{cases} x & x \ge 0 \\ -x & x < 0 \end{cases} | \frac{x|x|}{2} + C | |
| Natürliche Exponentialfunktion f(x) = e^x | e^x + C | |
| Exponentialfunktionen f(x) = b^x, \quad b > 0,\ b \ne 1 | \frac{b^x}{\ln b} + C | |
| Natürlicher Logarithmus f(x) = \ln x | x\ln x - x + C | |
| Logarithmusfunktionen f(x) = \log_b x, \quad b > 0,\ b \ne 1 | \frac{x\ln x - x}{\ln b} + C | |
| Sinusfunktion f(x) = \sin x | -\cos x + C | |
| Kosinusfunktion f(x) = \cos x | \sin x + C | |
| Tangensfunktion f(x) = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} | \ln\lvert\sec x\rvert + C | |
| Sekans, Kosekans und Kotangens \sec x = \frac{1}{\cos x}, \quad \csc x = \frac{1}{\sin x}, \quad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} | \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C | |
| Arkussinus f(x) = \arcsin x = \sin^{-1} x | x\arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C | |
| Arkuskosinus f(x) = \arccos x = \cos^{-1} x | x\arccos x - \sqrt{1 - x^2} + C | |
| Arkustangens f(x) = \arctan x = \tan^{-1} x | x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1 + x^2) + C | |
| Hyperbelfunktionen \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \quad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \quad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} | \cosh x + C |
Grenzwertsätze
Erklärungen →Ableitungsregeln
Erklärungen →
Konstantenregel
\frac{d}{dx}\, c = 0
Potenzregel
\frac{d}{dx}\, x^n = n\,x^{n-1}
Faktorregel
\frac{d}{dx}\,[c\,f(x)] = c\,f'(x)
Summen- und Differenzregel
\frac{d}{dx}\,[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)
Produktregel
\frac{d}{dx}\,[f(x)\,g(x)] = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x)
Quotientenregel
\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{[g(x)]^2}
Kettenregel
\frac{d}{dx}\,f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x)
Implizites Differenzieren
\frac{d}{dx}\,f(y) = f'(y)\,\frac{dy}{dx}
Logarithmisches Differenzieren
\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{d}{dx}\big[\ln y\big]
Ableitung der Umkehrfunktion
(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'\big(f^{-1}(x)\big)}
Integrationsregeln
Erklärungen →
Umgekehrte Potenzregel
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \ne -1
Linearität des Integrals
\int \left[a\,f(x) + b\,g(x)\right]dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx
Substitutionsregel
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \quad u = g(x)
Partielle Integration
\int u\,dv = uv - \int v\,du
Eigenschaften bestimmter Integrale
\int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx
Regeln für Reihen
Erklärungen →
Geometrische Reihe
\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^n = \frac{a}{1 - r}, \quad \lvert r\rvert < 1
Nullfolgenkriterium
\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \;\Longrightarrow\; \sum a_n \text{ divergiert}
Quotientenkriterium
L = \lim_{n\to\infty} \left\lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\rvert
Leibniz-Kriterium
b_n \ge b_{n+1} > 0,\ \lim_{n\to\infty} b_n = 0 \;\Longrightarrow\; \sum (-1)^{n+1} b_n \text{ konvergiert}
Sätze über Grenzwerte und Stetigkeit
Erklärungen →Sätze der Differentialrechnung
Erklärungen →Sätze der Integralrechnung
Erklärungen →Sätze zu Reihen und mehreren Variablen
Erklärungen →
Satz von Taylor
f(x) = P_n(x) + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}
Satz von Schwarz
f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)
Satz von Green
\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA
Gaußscher Integralsatz
\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_E \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV
Satz von Stokes
\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}
Lernen durch Tun
Formeln bleiben hängen, wenn du sie anwendest
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